Absolute Analysis by F R Nevanlinna

By F R Nevanlinna

Das vorliegende Werk ist als Ergebnis von Vorlesungen entstanden, welche die Verfasser seit 1953 im Laufe von mehreren Jahren an den Universitäten Helsinki und Zürich gehalten haben. Die nachfolgende Einleitung gibt über die Tendenzen Aufschluß, die für unsere Darstellung der Grundlagen einer absoluten, koordinaten- und dimensionsfreien Infinitesimalrechnung maßgebend gewesen sind. Die Lektüre setzt an Vorkenntnissen nur wenig voraus; sie kann jedem Studierenden emp­ fohlen werden, der mit dem üblichen, auf die Benutzung von Koordi­ naten fußenden Aufbau der Elemente der analytischen Geometrie, der Differential- und Integralrechnung und der Theorie der Differential­ gleichungen vertraut ist. Unsere Arbeit ist durch die Hilfe wesentlich erleichtert worden, die uns von mehreren Seiten zuteil geworden ist. Herr Ilppo Simo Louhi­ vaara hat von Anfang bis zu Ende an der Herstellung dieses Werkes mit unermüdlichem Interesse und minutiöser Sorgfalt teilgenommen und durch zahlreiche sachliche und formelle Bemerkungen und Vor­ schläge unsere Arbeit wesentlich gefördert. Für seine wertvolle, auf­ opfernde Unterstützung sprechen wir hier unseren herzlichen Dank aus. Den Herren H. Keller, T. Klemola, T. Nieminen, Ph. Tondeur und okay. 1. Virtanen, die unsere Darstellung im Manuskript gelesen haben, verdanken wir verschiedene wichtige kritische Bemerkungen. Unser Dank gilt auch Herrn Professor Dr. F. ok. Schmidt für die Aufnahme dieses Werkes in die Reihe der Grundlehren der mathema­ tischen Wissenschaften, und dem Springer-Verlag, der unseren Wünschen mit freundlicher Bereitwilligkeit entgegengekommen ist.

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Xd) mit den Ecken Xi und den d linear unabhängigen Kanten Xl - X o , •• " Xd xo • Dieses Gebilde ist möglichst elementar vor allem deshalb, weil die Punktmenge d X = 2: ,uiXi' i= 0 d 2: p,i = i= 0 1, affin, ohne jegliche Metrik, erklärt ist und bei beliebigen regulären Lineartransformationen des Raumes ihren Charakter als d-dimensionales Simplex invariant beibehält. Bei Begründung einer allgemeinen Maßtheorie für Punktmengen des affinen Raumes ist es daher zweckmäßig, zunächst den Begriff des Inhalts für Simplexe sinngemäß festzulegen.

T m = m ± EIl ... , 1 1 m= 1 ± E}l'" Ei... = det(E}) = det(E{) die m-reihige Determinante der Koordinaten E} ist. Der Wert D Xl . • X m ist somit gemäß der obigen Gleichung eindeutig bestimmt, wenn D a l . . am gegeben ist. Hieraus folgt unmittelbar, daß D in Rm identisch verschwindet, wenn sie für ein einziges linear unabhängiges Vektorensystem ai gleich Null wird. Schließt man diesen Fall aus, so verschwindet D nur, wenn die m Argumentvektoren linear abhängig sind. Es existiert dann in Rm genau eine bis auf den beliebig normierbaren Faktor D a l ••• am = IX =1= 0 46 I.

Es sei also ei neben ei eine zweite in bezug auf B orthonormierte Basis. Gemäß dem Trägheitssatz enthält diese Basis ebenfalls p positive, q negative Einheitsvektoren und r Nullvektoren ei' Die Nullvektoren ei spannen denselben Nullraum W' = wr wie die r Nullvektoren ei auf. Ordnet man ferner die Vektoren beider Systeme z. B. so, daß zuerst die positiven, dann die negativen und zuletzt die Nullvektoren aufgeschrieben werden, so hat man für alle Indizes i, i = 1 , ... , m B C, Cj = B e, ej . 8 eine eindeutig bestimmte lineare Transformation x= Tx, welche ei auf ei abbildet, und da beide Vektoren systeme linear unabhängig sind, so ist diese Transformation regulär.

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