Cours de mathématiques supérieures by V. Smirnov

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Examinons maintenant le cas d'un noyau réel dégénéré à valeurs caractéristiques imaginaires. 3 Îv 1 +.!. Â 2 Cette équation ne possède que des racines imaginaires pures. Le noyau réel satisfait ici à la condition K (t, s) = -K (s, t). De tels noyaux antisymétriques ne possèdent que des valeurs caractéristiques imaginaires pures. 4. Examinons un autre exemple de noyau dégénéré ne possédant pas de valeur caractéristique. Soit . 2 K( s, t) = sm s sm t (o-

46 Les équations (84) possèdent des solutions conjuguées complexes: '\f' (8) = ffi (8) et la condition de résolubilité (79)· s'écrit b Jf (8) û) (s)d8 = 0, a où û). (s) est une solution quelconque de l'équation (84 2 ). L'appareil mathématique qui a servi à la démonstration des théorèmes fondamentaux est dû à Fredholm (1903). Ces théorèmes sont analogues à ceux qu'on démontre en algèbre pour les systèmes d'équations linéaires ,(te III l [1-2-8]). ,. 1-11. Mineurs de Fredholm. Les raisonnements précédents permettent un système complet de fonctions propres linéairement indépendantes de l'équation de noyau K (s, t), correspondant à une valeur caractéristique donnée.

La suite (*) est convergente en chacun des points de l'en": semble fini 'f'. Il existe donc un N tel que IIp (x') - 1q (x') 1 < 8 pour p et q > N, (~); si x' est un point de l'ensemble fini 'f'. Supposons que le point x" de la formule (a) appartienne à l'ensemble fini 'f' et écrivons l' inégalité II p (x) -Iq (x) 1~ IIp (x) -Ip (x') 1 + IIp (x') -Iq (x') 1 + + 11q (x') - 1q (x) l, (y) qui décollle immédiatement de (a). Quelle que soit la position du point x dans la, bl, on peut trouver un x' appartenant à 'f' tel que 1 fn (x) - ln (x') 1 < 8 pour tout n.

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