Einführung in die Analysis 1 by Rolf Walter

By Rolf Walter

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Es ist aber klar, dass in einem „langen“ Intervall ungefähr b a ganze Zahlen liegen werden. Dazu beweise man genauer: a) Bezeichnet n die Anzahl ganzer Zahlen im Intervall Œa; bŒ, so gilt b a 1

B. 4 D 3 C 1 oder 6 D 3 C 3, usw. a C b/4 D aCb D a2 C 2ab C b 2 D a3 C 3a2 b C 3ab 2 C b 3 4 D a C 4a3 b C 6a2 b 2 C 4ab 3 C b 4 : In den folgenden Fällen wollen wir zuerst einmal versuchen, die richtige Behauptung auf anderem Wege zu finden, und sie dann erst mittels vollständiger Induktion beweisen. 30 Kapitel 1 Die Zahlmengen der Analysis Sei n 2 N und q 2 R. Kann man die Summe der fortlaufenden Potenzen 1 C q C q2 C C qn irgendwie geschlossen ausdrücken? „Geschlossen“ bedeutet dabei, dass eine Formel angegeben wird, die ohne Pünktchen auskommt, sich also mit wachsendem n nicht weiter ausdehnt.

Satz (arithmetische Summenformel). n C 1/: 2 Die linke Seite in (10) wird als eine arithmetische Summe bezeichnet, da zwei aufeinander folgende Summanden eine feste Differenz 1 haben. Beweis von E mittels vollständiger Induktion. Induktionsanfang n D 1: Hier geht die Behauptung über in 1 D sichtlich stimmt. n C 2/: 2 2 Das ist die Behauptung für n C 1 anstelle n. F. Bemerkung. An vielen Stellen werden in der Mathematik rechnerische Umformungen eingesetzt, um komplizierte Ausdrücke auf eine einfache Gestalt zu bringen.

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