Einfuhrung in die Analysis dynamischer Systeme by Manfred Denker

By Manfred Denker

Dynamische Systeme stellen einen unverzichtbaren Bestandteil mathematischer
Modellbildung für Anwendungen aller paintings dar, angefangen von Physik über Biologie
bis hin zur Informatik. Dieser Band führt in diese Theorie ein und beschreibt Methoden und Dynamiken, wie sie für eine systematische Modellbildung auch in den Anwendungen notwendig erscheinen.

Wesentliche Grundzüge der Theorie werden beispielhaft im ersten Kapitel erläutert. Es schließt sich eine Einführung in niedrig-dimensionale Dynamiken an (u.a. purpose Funktionen), gefolgt von topologischer Dynamik (z.B. Attraktoren, Entropie und chaotisches Verhalten), differenzierbarer Dynamik (z.B. Liapunoff-Exponenten, Strukturstabilität und Hyperbolizität), Ergodentheorie (z.B. Ergodensätze, invariante Masse, Konservativität) und schließlich thermodynamischer Formalismus (z.B. Gibbs-Theorie, Zetafunktionen).

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Die gemeinsame Verfeinerung α0n = α ∨ T −1 α ∨ ... ∨ T −n+1 α besteht dann aus Intervallen J, auf denen T n monoton ist. Sei h = lim supn→∞ n1 log |α0n | das asymptotische Wachstum achst sei h > log 2.

Definition 7. Eine periodische Bahn Γ heißt anziehend, wenn es eine Umgebung U von Γ gibt, so dass f¨ ur jedes x ∈ U limt→∞ d(φt (x), Γ ) = 0, und abstoßend, wenn sie f¨ ur die Zeitumkehrung φ− t = φ−t (t ∈ R) anziehend ist. Die entsprechenden Begriffe werden analog f¨ ur station¨ are Punkte erkl¨ art. Proposition 1. Sei Γ eine periodische Bahn positiver L¨ ange γ = γ(Γ ) des differenzierbaren Flusses (φt )t∈R . Dann besitzt Dx φγ (x ∈ Γ ) den Eigenwert 1. Γ ist außerdem anziehend, wenn alle anderen Eigenwerte einen Betrag < 1 besitzen.

6) ist, so dass n≥1 bn mn e−sn mit s → W gegen Unendlich strebt. Da f¨ ur s < W stets n mn e−sn = ∞ gilt, kann man dies unschwer erreichen. 59). Sei F (t) = µ((0, t]). Dann ist F : I → I monoton wachsend, stetig und surjektiv (da F (0) = 0 und F (1) = 1). Es erf¨ ullt auch die Gleichungen F (T (x)) = µ((0, T (x)]) = µ(T ((0, x])) = eW µ((0, x]) = eW F (x) f¨ ur x ≤ c und F (T (x)) = µ((T (1), T (x)]) = µ(T ([x, 1))) = eW (1 − µ((0, x]) = eW (1 − F (x)) f¨ ur x ≥ c. Dies zeigt, dass T zur Abbildung Ta mit a = eW semi-konjugiert ist.

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