Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, by Karl Bosch

By Karl Bosch

Das Buch ist dies eine elementare Einf?hrung in die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, die f?r ein sinnvolles Statistikstudium unentbehrlich sind. Dabei wird auf die praktische Bedeutung und Anwendbarkeit dieser Begriffe verst?rkt eingegangen, was once durch die Behandlung zahlreicher Beispiele erleichtert und durch viele ?bungsaufgaben mit vollst?ndigen L?sungswegen abgerundet wird.

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23. An einem Stab der Länge a werden zufällig und unabhängig voneinander zwei Stellen markiert. An diesen Stellen wird der Stab durchgesägt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit läßt sich aus den so gewonnenen Stücken ein Dreieck bilden? 26 1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff Die zuerst markierte Stelle bezeichnen wir mit x, die andere mit y. Die Versuchsergebnisse können somit durch die Zahlenpaare (x, y) mit 0 ~ x, y ~ a dargestellt werden. n ist also ein Quadrat mit der Seitenlänge a (s. 8). Damit aus den Teilstücken ein Dreieck gebildet werden kann, muß der Stab in drei Teile zerlegt werden, wobei wegen der sogenannten Dreiecksungleichung jedes der drei Teilstücke kürzer sein muß als die beiden anderen zusammen.

N. i=l Beweis: Definitionsgemäß gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(AkB) P(BAk) P(Ak/ B) = P(B) = P(B) . 58) 44 1. 38. In einer Schraubenfabrik stellen drei Maschinen Mt, M2 , M3 von der Gesamtproduktion 20, 30 bzw. 50 % her. Dabei sind im Mittel 2 % der von der Maschine Mt, 4 % der von M2 und 7 % der von M3 gefertigten Schrauben Ausschuß. Aus der Gesamtproduktion werde zufallig eine Schraube entnommen, von der sich herausstellt, daß sie fehlerhaft ist. Wie groß sind die WahrscheirIlichkeiten Pt, P2 , P3 daflir , daß sie von der Maschine MI> M2 bzw.

Kr erhält man aus C durch Permutation der einzelnen Komponenten, wobei jede permutierte Anordnung dieselbe Wahrschein- l .. lichkeit besitzt. 8 gibt es k ! :~I Daraus folgt die Behauptung Pkl .. ·kr = peSkJ ... kr) = k l krl verschiedene Permutationen. n! k2! PI P2 "'Pr • 40 1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff Bemerkungen: 1. Entwickelt man I = (PI + pz + ... + Pr)" nach dem sog. polynomischen Lehrsatz, so erhält man die Wahrscheinlichkeiten Pk l . kr als Summanden; deshalb heißt die Gesamtheit der Wahrscheinlichkeiten Pk l ...

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