Facettenreiche Mathematik: Einblicke in die moderne by Katrin Wendland, Annette Werner

By Katrin Wendland, Annette Werner

Dieser Band versammelt zweiundzwanzig spannende Beitr?ge, in denen verschiedene Mathematikerinnen ihre Forschungsgebiete vorstellen. Dabei werden nur Schulkenntnisse in Mathematik vorausgesetzt, und der Bogen wird von klassischen Resultaten bis zur aktuellen Forschung gespannt. Das Buch vermittelt eindrucksvoll den Facettenreichtum der modernen Mathematik und l?dt dazu ein, sich von der Faszination der Mathematikerinnen f?r ihre Forschungsgebiete anstecken zu lassen.

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Wir wollen hierauf aber nicht näher eingehen, sondern nehmen einfach an, dass α auch negativ sein kann. 3 Ein erstes Beipiel zur Preisbestimmung 25 der Option nachbilden beziehungsweise replizieren: Leihe heute zusätzlich zu dem einen Euro noch 3 e vom Bankkonto und kaufe dafür 25 Aktien. In einem Jahr gibt es zwei Szenarien: 1. Der Kurs der Aktie steigt auf S1 = 20 e. Der Verkauf der Aktie liefert damit 25 · 20 e = 8 e. Davon müssen wir den Kredit in Höhe von 3 e zurückzahlen, und es bleiben 5 e.

In diesem Kapitel sollen zwei klassische Probleme der Finanzmathematik vorgestellt werden: die Optionsbewertung und die Portfolio-Optimierung. Was aber genau sind Optionen? Wie kann man einen fairen Preis für sie ermitteln? Wir werden bei der Beantwortung dieser Fragen Einblicke in eine auf Fischer Black, Myron S. Scholes und Robert C. Merton zurückgehende Theorie geben, die 1997 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften1 ausgezeichnet wurde und bis heute in der finanzmathematischen Forschung und in der Praxis eine entscheidende Rolle spielt.

T } gefunden haben, dann muss diese Strategie auch über Teilintervalle zum Beispiel von T − 1 bis T optimal sein (andernfalls könnten wir ϕ ∗ ja nochmals verbessern). 6 Aktuelle Forschungsfragen 39 [T − 2, T ] und so weiter. Für T = 1 kann man das Problem direkt lösen. Setzen wir als Nutzenfunktion zum Beispiel U(x) = −e−γx für ein γ > 0 ein, so bekommen wir ϕ E[U(VT )] = p − e−γ β (1+r)+αS0 u + (1 − p) − e−γ β (1+r)+αS0 d . Diese Funktion müssen wir in (α, β ) maximieren unter der Nebenbedingung, dass ϕ v0 = V0 = β + αS0 .

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