Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die by Rainer Oloff

By Rainer Oloff

Die Relativitätstheorie ist in ihren Kernaussagen nicht mehr umstritten, gilt aber noch immer als kompliziert und nur schwer verstehbar. Das liegt unter anderem an dem aufwendigen mathematischen Apparat, der schon zur Formulierung ihrer Ergebnisse und erst recht zum Nachvollziehen der Argumentation notwendig ist. In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie systematisch entwickelt, das ist die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten einschließlich Differentiation und Integration. Die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Die zentrale Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Einstein'sche Feldgleichung, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzt. Ausführlich werden die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. Dieser textual content richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus. Für die neue Auflage wurde das Buch durchgesehen und alle bekannt gewordenen Fehler korrigiert.

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1 Tensoren Einführung Die Darstellung von Elementen eines endlichdimensionalen Raumes E, Linearformen auf E und linearen Abbildungen in E als n- Tupel bzw. Matrizen hängt wesentlich von der Auswahl der Basis in E ab. Der im nächsten Abschnitt eingeführte Tensorbegriff verallgemeinert diese Objekte und ermöglicht so unter anderem eine einheitliche Theorie der Koordinatentransformationen. Daß der zugrunde liegende Raum E in den späteren Anwendungen immer ein Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit sein wird, spielt in diesem Kapitel noch keine Rolle.

Zur Vereinfachung der Schreibweisen ist die folgende sogenannte Einsteinsehe Summenkonvention üblich: Wenn in einem Ausdruck ein Indexsymbol zweimal auftritt, einmal als oberer und einmal als unterer Index, wird über diesen Index summiert. h i wird kürzer ,xh i geschrieben. Eine Gleichung der Form 1)k = 2:~=1 afe verkürzt sich zu 1)k = a~~i. Die Summationsgrenze ist nun nicht mehr angebbar, ist aber normalerweise nach Lage der Dinge sowieso klar. Die Verwendung der Summenkonvention erfordert einheitliche Vorschriften, welche Indizes oben und welche unten zu stehen haben.

Es sei Jx In Komponentenschreibweise heißt das = 0, also g(x,y) = 0 für alle y E E. k gikx'y = 0 für jedes n-Tupel (yl, ... ,yn). Daraus folgt das homogene lineare Gleichungssystem gikxi = 0, das wegen det (gik) -; 0 nur die triviale Lösung xi = 0 hat. Zu einer Orthonormalbasis Xl, ... ,X n eines euklidischen Raumes bilden die Linearformen J Xl, ... ,J X n die dazu duale Basis. Wenn statt eines Skalarproduktes eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform verwendet wird, ist dieses Ergebnis geringfügig zu modifizieren.

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