Mathematische Rätsel und Probleme by Martin Gardner (auth.)

By Martin Gardner (auth.)

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From combinatorics to dynamical systems: journées de calcul formel, Strasbourg, March 22-23, 2002

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Factorization of Matrix and Operator Functions - The State Space Method

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Natürlich gibt es auf einem 11 . 11-Brett solch eine astronomische Zahl von Spielmöglichkeiten, daß eine vollständige Analyse außerhalb menschlicher Möglichkeiten liegt. Spieltheoretiker finden Hex besonders aus dem folgenden Grund von Interesse. Obwohl keine "Entscheidungspartie" bekannt ist, die einen Gewinn auf dem Standard-Brett garantiert, gibt es einen eleganten reductio ad absurdum "Existenzbeweis" dafür, daß es eine Gewinnstrategie für den anfangenden Spieler auf einem Brett beliebiger Größe gibt!

Der beste Weg, die Feinheiten von Hex kennenzulernen, besteht darin, *) MIT = Massachusetts Institute of Technology. 34 das Spiel auf einem Feld mit einer geringen Anzahl von Sechsecken zu spielen. Wird das Spiel auf einem 2· 2-Brett gespielt (vier Sechsecke), dann gewinnt offenbar der Spieler, der anfängt. Auf einem 3· 3-Brett gewinnt leicht der anfangende Spieler, indem er seinen ersten Stein auf das mittlere Sechseck des Brettes legt (Abb. 22). Da "Schwarz" zwei Spiel möglichkeiten zu beiden Seiten des Steines hat, besteht für seinen Gegner keine Möglichkeit, ihn vom Gewinn nach dem dritten Zug abzuhalten.

Die Spieler legen abwechselnd einen ihrer Steine auf irgendein Sechseck, vorausgesetzt, daß es nicht bereits durch einen anderen Stein besetzt ist. Das Ziel von "Schwarz" ist es, eine zusammenhängende Kette von schwarzen Steinen zwischen den zwei mit "Schwarz" bezeichneten Seiten herzustellen. "Weiß" versucht eine ähnliche Kette aus weißen Steinen zwischen den "weißen" Seiten aufzubauen. 33 Die Kette kann beliebig gewunden und gedreht sein; ein Beispiel einer Gewinnkette ist in Abb. 21 gezeigt.

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