Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, 3a by Alfio Quarteroni

By Alfio Quarteroni

In questo testo si introducono i concetti fondamentali in keeping with l. a. modellistica numerica di problemi differenziali alle derivate parziali. Si considerano le classiche equazioni lineari ellittiche, paraboliche ed iperboliche, ma anche altre equazioni, quali quelle di diffusione e trasporto, di Navier-Stokes, e le leggi di conservazione. Si forniscono numerosi esempi fisici che stanno alla base di tali equazioni, se ne studiano le principali proprieta' matematiche, quindi si propongono ed analizzano metodi di risoluzione numerica basati su elementi finiti, differenze finite, volumi finiti e metodi spettrali. In particolare vengono discussi gli aspetti algoritmici e di implementazione al calcolatore e si forniscono alcuni programmi in linguaggio C++ di semplice utilizzo. Il testo non presuppone una avanzata conoscenza matematica delle equazioni alle derivate parziali: i concetti rigorosamente indispensabili al riguardo sono riportati nell'Appendice. Il quantity ? pertanto adatto agli studenti dei corsi di laurea di indirizzo scientifico (Ingegneria, Matematica, Fisica, Chimica, Scienze dell'Informazione) e consigliabile a ricercatori del mondo accademico ed extra-accademico che vogliano avvicinarsi a questo interessante ramo della matematica applicata.

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Osserviamo che la matrice di rigidezza nel caso di elementi finiti di grado 2 sarà pentadiagonale. 5). Inoltre, come ben noto dalla teoria dell’interpolazione polinomiale, l’uso di gradi elevati combinato con distribuzioni equispaziate dei nodi, conduce ad approssimazioni sempre meno stabili, a discapito dell’aumento teorico di accuratezza. Un rimedio brillante è fornito dall’approssimazione agli elementi spettrali che, facendo uso di nodi opportuni (quelli delle formule di quadratura di Gauss), consente di generare approssimazioni di accuratezza arbitrariamente elevata.

R Indicato con Π K l’operatore di interpolazione locale che associa ad una funzione v r il polinomio Π K v ∈ Pr (K), interpolante v negli r + 1 nodi dell’elemento K ∈ T h , definiamo Πhr v come Πhr v ∈ Xhr : Πhr v K r = ΠK (v K ∀K ∈ Th . 18). Vale allora la seguente stima dell’errore di interpolazione: |v − Πhr v|Hk (I) ≤ Ck,r hr+1−k |v|Hr+1 (I) per k = 0, 1. 19) Le costanti Ck,r sono indipendenti da v ed h. Ricordiamo che H 0 (I)=L2 (I) e che | · |H0 (I) = · L2 (I) . Dimostrazione. 19) per il caso r = 1, rimandando a [QV94, Cap.

Problemi ellittici per operatori del quarto ordine sono proposti negli Esercizi 4 e 6, mentre un problema ellittico derivante dalla teoria dell’elasticità lineare è affrontato nell’Esercizio 7. 1 (di Lax-Milgram) Sia V uno spazio di Hilbert, a(·, ·) : V ×V → R una forma bilineare continua e coerciva. Sia F (·) : V → R un funzionale lineare e continuo. Allora esiste unica la soluzione del problema: trovare u ∈ V : a(u, v) = F (v) ∀v ∈ V. 32) Dimostrazione. Si basa su due classici risultati di Analisi Funzionale: il teorema di rappresentazione di Riesz, ed il teorema dell’immagine chiusa di Banach.

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