Numerische Mathematik 1. Einfuehrung in MATLAB by Bueskens C.

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Hier wollen wir die wichtigsten Polynom-Routinen von MATLAB besprechen. In mathematischer Schreibweise ist ein Polynom vom Grad n gegeben durch p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn In MATLAB werden die Koeffizienten anders numeriert; es gilt die Konvention p(x) = P (n + 1) + P (n) ∗ x + P (n − 1) ∗ x2 + ... + P (1) ∗ xn Ein Polynom vom Grad n wird also als n+1-dimensionaler Vektor dargestellt. Beispiel: Das Polynom p1(x) = 1 + 2x − 3x2 wird in MATLAB als P1 = [-3 2 1] dargestellt. Zur Auswertung eines Polynoms dient die Routine ’polyval’: polyval(P1,0) polyval(P1,1) input(’Druecke RETURN’) Matlab, ein mathematisches Labor 39 Diese kann selbstverst\"andlich auch zum Plotten verwendet werden.

2, 5); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) title(’c=5’) 50 Matlab, ein mathematisches Labor grid input(’Druecke RETURN’) Die bisher betrachteten Verfahren sind sogenannte ’explizite’ Einschrittverfahren, bei denen die L¨osung x(i+1) direkt aus der vorhergehenden L¨osung x(i) berechnet wird. F¨ ur gewisse Klassen von Differentialgleichungen, die sogenannten ’steifen’ Differentialgleichungen sind diese Verfahren sehr ineffizient, auch wenn sie nicht unbedingt ein falsches Ergebnis liefern. Steife Differentialgleichungen zeichnen sich dadurch aus, dass die Konstante ’K(T)’ im Konvergenzsatz sehr gross ist, was sich typischerweise durch eine grosse Lipschitz-Konstante f¨ ur die rechte Seite der Differentialgleichung f ausdr¨ uckt.

Die maximale Anzahl der Iterationen ist mit n (=Dimension des Problems) voreingestellt. 3) Abbruch bei Stagnation: Wenn sich das Residuum nicht mehr verbessert, wird ebenfalls abgebrochen, auch wenn die gew¨ unschte Genaugkeit noch nicht erreicht ist. Wir illustrieren nun die verschiedenen Abbruchkriterien: Beachte: Die Anzahl der Iterationen, die nach dem Abbruch angegeben wird, kann ein nichtganzzahliger Wert sein, da viele Verfahren mehrstufige Iterationsschritte durchlaufen, die nach einem Teildurchlauf abgebrochen werden k¨onnen.

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