Projektive Geometrie und Cayley—Klein Geometrien der Ebene by Gerhard Kowol

By Gerhard Kowol

In diesem Buch wird am Beispiel der ebenen reellen und komplexen projektiven Geometrie und der davon abgeleiteten Cayley-Klein-Geometrien versucht aufzuzeigen, dass das Mathematisieren eine weit über das Fachspezifische hinausgehende Bedeutung hat - sowohl in erkenntnistheoretischer Hinsicht als auch in Bezug auf Anwendungen. Ersteres wird durch den anschaulich-synthetischen Zugang, der im Laufe der Darstellung durch den analytischen ergänzt wird, belegt und durch philosophische und mathematikhistorische Erörterungen untermauert; letzteres erstreckt sich auch auf wenig bekannte Anwendungen innerhalb der Botanik, Kristallografie, Mechanik und Psychologie. Des weiteren werden bislang kaum bzw. nicht in Buchform dargestellte Themen behandelt wie: Natürliche Geometrie von J. Hjelmslev, Beweis des Parallelenaxioms nach P. Lorenzen (konstruktive euklidische Geometrie), Imaginärtheorie nach L. Locher-Ernst, Wegkurven und Wegflächen, Koordinatisierung der Cayley-Klein-Ebenen. Das Buch ist soweit wie möglich elementar gehalten; nur eine Vertrautheit mit mathematischer Argumentation sowie Grundkenntnisse der euklidischen Geometrie werden vorausgesetzt.

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Legendre, 1794). 2. -M. Legendre, 1794). Auch wenn Legendre 1833 meinte, daß die Parallelentheorie durch seine Un” tersuchungen nach zweitausend Jahren vergeblicher Bem¨ uhungen endlich zu einem befriedigenden Abschluß gekommen sei“ ([St¨ a], S. 213), blieben letztlich alle Beweisversuche vergeblich. Ja, zu jenem Zeitpunkt war bei manchen Mathematikern schon ein revolution¨ arer Umschwung in ihren Ansichten u ¨ber das Parallelenaxiom eingetreten: War eine Geometrie denkbar, in der die vier ersten euklidischen Postulate gelten sowie die Negation des f¨ unften oder eines ihm ¨aquivalenten?

Berf¨ 19) Welche M¨obiustransformationen mit zwei Fixpunkten gibt es? 20) Es sei k ein Kreis und A, B, A , B vier Punkte im Inneren von k. Mittels des Doppelverh¨ altnisses gebe man eine notwendige und hinreichende Bedingung an f¨ ur die Existenz einer Kreisverwandtschaft, die k invariant l¨asst und A in A , B in B u uhrt. 1 Die Bedeutung von Euklids Axiomatik Die Betrachtungen und Ableitungen des vorangegangenen Kapitels st¨ utzen sich auf mancherlei Sachverhalte, die unhinterfragt verwendet wurden: teils waren es Ergebnisse aus der euklidischen Geometrie, wie Satz von Thales, Sekanten- bzw.

An der Kugel 4) Man zeige, dass es eine Kreisinversion gibt, die zwei Kreise ohne gemeinsamen Punkt in konzentrische Kreise u uhrt. ¨berf¨ 5) Kreis des Apollonios: Gegeben seien zwei Punkte A, B der euklidischen Ebene, und es sei k ∈ R+ fest. Man beweise, dass der Ort aller Punkte P mit P A : P B = k ein Kreis ist. ) 6) Gegeben seien vier Kreise ki , i = 1, 2, 3, 4, die sich in zyklischer Reihenfolge von außen ber¨ uhren. Man beweise, dass die vier Ber¨ uhrpunkte auf einem Kreis liege. ) 7) Gegeben seien drei Punkte A, B, C einer Geraden g mit B zwischen A und C sowie die Halbkreise k1 , k2 , k3 mit den Durchmessern AB, AC, BC, welche in derselben Halbebene bez¨ uglich g liegen.

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