# Topology of Low-Dimensional Manifolds by R. Fenn

By R. Fenn

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Basic noncommutative geometry

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This booklet includes 24 technical papers offered on the fourth variation of the Advances in Architectural Geometry convention, AAG 2014, held in London, England, September 2014. It deals engineers, mathematicians, designers, and contractors perception into the effective layout, research, and manufacture of complicated shapes, so as to support open up new horizons for structure.

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1 Tensoren Einführung Die Darstellung von Elementen eines endlichdimensionalen Raumes E, Linearformen auf E und linearen Abbildungen in E als n- Tupel bzw. Matrizen hängt wesentlich von der Auswahl der Basis in E ab. Der im nächsten Abschnitt eingeführte Tensorbegriff verallgemeinert diese Objekte und ermöglicht so unter anderem eine einheitliche Theorie der Koordinatentransformationen. Daß der zugrunde liegende Raum E in den späteren Anwendungen immer ein Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit sein wird, spielt in diesem Kapitel noch keine Rolle.

Zur Vereinfachung der Schreibweisen ist die folgende sogenannte Einsteinsehe Summenkonvention üblich: Wenn in einem Ausdruck ein Indexsymbol zweimal auftritt, einmal als oberer und einmal als unterer Index, wird über diesen Index summiert. h i wird kürzer ,xh i geschrieben. Eine Gleichung der Form 1)k = 2:~=1 afe verkürzt sich zu 1)k = a~~i. Die Summationsgrenze ist nun nicht mehr angebbar, ist aber normalerweise nach Lage der Dinge sowieso klar. Die Verwendung der Summenkonvention erfordert einheitliche Vorschriften, welche Indizes oben und welche unten zu stehen haben.

Es sei Jx In Komponentenschreibweise heißt das = 0, also g(x,y) = 0 für alle y E E. k gikx'y = 0 für jedes n-Tupel (yl, ... ,yn). Daraus folgt das homogene lineare Gleichungssystem gikxi = 0, das wegen det (gik) -; 0 nur die triviale Lösung xi = 0 hat. Zu einer Orthonormalbasis Xl, ... ,X n eines euklidischen Raumes bilden die Linearformen J Xl, ... ,J X n die dazu duale Basis. Wenn statt eines Skalarproduktes eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform verwendet wird, ist dieses Ergebnis geringfügig zu modifizieren.