# Turbulent Flow: Analysis, Measurement, and Prediction PCfm by Peter S. Bernard, James M. Wallace

By Peter S. Bernard, James M. Wallace

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Exponentialfunktion Bevor wir weitere allgemeine S¨atze u ¨ber Reihen auflisten, wollen wir die bisher vorgestellte Theorie an einem der grundlegendsten Beispiele anwenden. eine reelle Zahl. Zu einer reellen Zahl x kann man die Reihe Potenzreihe ∞ xn exp (x) = n! n=0 Unendliche Reihen 47 betrachten. ∞ xn n=0 n! Satz. Die Reihe konvergiert f¨ ur jedes x. Den Grenzwert der hier betrachteten Reihe bezeichnet man mit exp (x), also ∞ exp (x) := xn . n! n=0 Beweis. Wir beweisen hier die Konvergenz zun¨achst f¨ ur x ≥ 0.

Nun ist aber tats¨achlich sn ≤ sm , wenn nur m ≥ max (σ(k)|k ≤ n) ist. Daher ist sup M ≤ sup M . Umgekehrt ist stets sn ≤ sl , wenn l so groß gew¨ahlt ist, daß zu jedem k ≤ n ein k ≤ l existiert, sodaß k = σ(k ) ist. Also ist sup M ≤ sup M , womit der Satz bewiesen ist. Im Fall einer Reihe mit sowohl unendliche vielen negativen als auch unendlich vielen positiven Gliedern ist die im Umordnungssatz ausgesprochene Tatsache v¨ollig falsch. Wir kommen darauf unten noch einmal zur¨ uck. h. ob etwa ∞ nk+1 ∞ an = n=0 an k=0 n=nk f¨ ur jede beliebige streng monotone Folge (nk ) gilt.

Die Aussage folgt wie im Beweis des letzten Satzes mit den Ungleichungen | (an )| , | (an )| ≤ |an | ≤ | (an )| + | (an )| . Die Details u ¨berlassen wir wieder dem Leser. Fortsetzung der Exponentialfunktion ins Komplexe Nach diesen Vorbereitungen u ¨ber Reihen komplexer Zahlen k¨onnen wir nun alle oben betrachteten Funktionen via ihrer Reihendarstellungen f¨ ur komplexe Argumente erkl¨aren. Wir setzen zun¨achst ∞ exp(z) := zn n! n=0 f¨ ur z ∈ C. Die hier auftretende unendliche Reihe von komplexen Zahlen ist absolut konvergent (sie konvergiert falls man z durch die reelle Zahl |z| ersetzt), mithin ist sie konvergent, mithin ist der Grenzwert, den wir mit exp(z) oder auch ez bezeichnen, f¨ ur jedes komplexe z eine wohlbestimmte komplexe Zahl.